انضم الصباح إلى مؤسسة البترول الكويتية في عام 1999، وتولى منصبه الحالي في مارس/ آذار 2022. وتتضمن قائمة الشركات التابعة لمؤسسة البترول الكويتية كل من: شركة نفط الكويت، وشركة البترول الوطنية الكويتية، وشركة صناعة الكيماويات البترولية. شغل الصباح سابقًا منصب الرئيس والمدير التنفيذي لشركة كي. بي. سي. هولدنجز (أوروبا)، والرئيس التنفيذي للشركة الكويتية للاستكشافات البترولية الخارجية (كوفبك) ورئيس مكتب المؤسسة في واشنطن.